Решите уравнение:cos x=1-cosπ/ -x

Решите уравнение:

cos2x=1-cos(π/2-x)

  • Sin 3x + Sin 5x = 2(Cos² 2x - Sin² 3x) 

    Для левой части ур-ия применим формулу суммы синусов: 
    Sin x + Sin y = 2Sin ((x + y)/2) · Cos ((x - y)/2) 
    А для правой части формулы понижения степени: 
    Cos² x = (1 + Cos 2x) / 2 
    Sin² x = (1 - Cos 2x) / 2
     

    То есть: 
    2Sin 4x · Cos x = 2 · ((1 + Cos 4x)/2 - (1 - Cos 6x)/2)) 

    2Sin 4x · Cos x = 1 + Cos 4x - 1 + Cos 6x 

    2Sin 4x · Cos x = Cos 4x + Cos 6x 

    Для правой части ур-ия применим формулу суммы косинусов: 
    Cos x + Cos y = 2Cos ((x + y)/2) · Cos ((x - y)/2) 

    2Sin 4x · Cos x = 2Cos 5x * Cos x 

    2Sin 4x · Cos x - 2Cos 5x * Cos x = 0 

    Выносим общий множитель 2Cos x
    2Cos x · (Sin 4x - Cos 5x) = 0 

    Отсюда: 
    Cos x = 0 ⇒ x = ±π/2 + 2πk, k — целое 

    Sin 4x - Cos 5x = 0 

    Cos (π/2 - 4x) - Cos (5x) = 0 

    Применяем формулу разности косинусов: 
    Cos x - Cos y = -2Sin ((x + y)/2) · Sin ((x - y)/2) 

    То есть: 
    -2Sin ((π/2 + x)/2) · Sin ((π/2 - 9x)/2) = 0 

    1) Sin ((π/2 + x)/2) = 0 
    (π/2 + x)/2 = πk 
    π/2 + x = 2πk 
    x = -π/2 + 2πk 

    2) Sin ((π/2 - 9x)/2) = 0 
    (π/2 - 9x)/2 = πk 
    π/2 - 9x = 2πk 
    9x = π/2 - 2πk 
    x = π/18 - 2π/(9k) 

    Ответ: 
    x = ±π/2 + 2πk, k — целое 
    x = π/18 - 2π/(9k)